緒論
固體力學主要研究在各種外界因素作用下可變形體內部各點所產生的位移、應力、應變以及破壞等的規(guī)律；假設研究對象中的位移、應變、應力等為空間或時間的連續(xù)函數(shù)，借助于數(shù)學方法將其研究問題轉化成相應的偏微分方程邊值問題或初邊值問題。用微分方程來描述工程技術問題是科學的一大成果，其求解一直貫穿于固體力學的發(fā)展階段。
固體力學遇到的數(shù)理模型是復雜多樣的，其計算方法已經(jīng)歷了三個發(fā)展時期：解析方法、古典數(shù)值方法和現(xiàn)代數(shù)值方法。
在固體力學發(fā)展初期，科學家針對基本方程和邊界條件的定解問題提出了許多解析方法，如應力函數(shù)法、試湊法(反逆和半逆法)及復變函數(shù)法等，這些方法所解決的主要是一些簡單的彈性力學問題、穩(wěn)定問題及后來出現(xiàn)得極少的塑性力學問題。除了少數(shù)簡單固體力學問題外，解析方法是不可行的。隨著固體力學自身的發(fā)展及實際工程問題的出現(xiàn)，許多復雜的問題求解開始逐漸引入近似的求解方法。與傳統(tǒng)解析方法對數(shù)學的完美要求相比，近似解法更注重在工程問題中的實用性。古典數(shù)值方法在數(shù)學形式上就是利用近似解代替精確解，近似解不一定嚴格滿足基本方程或邊界條件，即放松了對解的限制。歷史上最早采用的數(shù)值方法是有限差分法，從微分方程出發(fā)，將連續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點構成的網(wǎng)格來代替，用泰勒展開式將原方程和定解條件中的微商用不同時間或空間點差商來近似，把原微分方程和邊界條件的求解轉變?yōu)榍蠼庖粋�線性代數(shù)方程組，從而得到原問題在離散點上的近似解，再利用插值方法便可以得到整個區(qū)域上的近似解。另一種近似方法是基于等效積分的數(shù)值方法。例如，瑞士科學家里茲于1908年將里茲法作為一種有效方法提出，基于變分法(積分方程)中最小勢能原理或虛位移原理，選擇一個滿足位移邊界條件的近似函數(shù)，對泛函求駐值，得到一組線性代數(shù)方程，從而獲得問題的近似解。另外，蘇聯(lián)數(shù)學家伽遼金于1915年發(fā)明了伽遼金法，采用微分方程對應的等效積分弱形式，選擇滿足位移邊界條件(與力邊界條件)的近似函數(shù)，并把近似函數(shù)中基函數(shù)或形函數(shù)為權函數(shù)，得到一組線性代數(shù)方程，可得問題的近似解。這種方法屬于加權余量法。里茲法和伽遼金法均用有限自由度體系近似代替了無限自由度體系，兩者在某個特定的條件下是等效的。有限差分法、里茲法、伽遼金法等近似解法的出現(xiàn)表明固體力學從初期的單純理論研究逐漸轉入到實際工程應用之中。但是，還存在不滿意之處：有限差分法局限于規(guī)則的差分網(wǎng)格，如正方形、矩形或正三角形網(wǎng)格等；里茲法和伽遼金法選擇的近似函數(shù)必須滿足整個求解區(qū)域，當研究對象是一個復雜的結構或具有復雜幾何形狀，近似函數(shù)不易得到滿足；所以古典數(shù)值方法對于模擬復雜邊界的二維或三維問題有一定難度�，F(xiàn)代數(shù)值方法則拋棄了這種在整個求解域上選取近似函數(shù)的思想，求解模型中采用了“離散化”的思想，近似函數(shù)僅需在局部滿足微分方程�；�于變分法或加權余量法，提出了流行的有限單元法、邊界單元法、無網(wǎng)格法等。20世紀60年代，計算機技術的出現(xiàn)和應用為標志著固體力學計算的一個飛躍，使固體力學的現(xiàn)代數(shù)值方法進入了前所未有的深度與廣度。電子計算機應用的飛速發(fā)展，以及計算方法的不斷改進和完善，促成了計算固體力學學科的誕生。計算固體力學是采用離散化的數(shù)值方法，并以電子計算機為工具，求解固體力學中各類問題的學科。借助于計算機，有限元法與有限差分法相輔相成，已成為現(xiàn)代工程計算中不可缺少的強有力工具。但是，有限差分法只看到了節(jié)點的作用，沒有注意到連接節(jié)點的單元所起到的作用；有限元法吸取了有限差分法中離散化處理的內核，又繼承了變分計算中選擇插值函數(shù)并對區(qū)域進行積分的合理方法，并且充分估計了單元對節(jié)點參數(shù)的貢獻，使計算結果更為精確。因而，在工程計算中，以有限元法為核心的現(xiàn)代數(shù)值方法得到了廣泛的應用。計算固體力學應用到的工程問題及其求解的特點：(1) 靜力學問題。離散化后歸結為求解線性代數(shù)方程組，常見于求解結構的應力和變形。(2) 特征值問題。離散化后歸結為求解矩陣的特征值和特征向量問題，常見于求解結構或系統(tǒng)的頻率和振型、穩(wěn)定極限載荷和屈曲形狀 。(3) 動態(tài)響應問題。離散化后得到一常微分方程組，可直接數(shù)值積分或利用先求得特征向量將它轉換為一組互不耦合的常微分方程，再進行時間積分求解。常見于求解結構的振動和彈性波的傳播。(4) 非線性問題。例如，黏彈(塑)性等物理非線性問題、大變形和后屈曲等幾何非線性問題，一般采用增量解法將它們轉化為一系列線性問題求解。(5) 含裂紋的非連續(xù)問題�？刹捎闷娈悊卧�模擬裂紋尖端的應力場。(6) 復合材料和結構的非均質問題。目前，對此類問題求解還不完善，正在發(fā)展之中。(7) 多場耦合問題。對此類問題求解也在發(fā)展之中。計算固體力學研究和應用的領域不斷擴大，隨計算機技術的發(fā)展，解題能力成數(shù)量級地提高。例如，借助計算機，已能對整個“鳥巢”、整艘航空母艦，或整架飛機等工程問題進行詳細分析，并得到滿意結果。計算固體力學的發(fā)展，既有其學科自身的要求，也有實際工程問題的推動。1997年9月，錢學森先生給予清華大學力學系贈言：“隨著力學計算能力的提高，用力學理論解決設計問題成為主要途徑，而試驗手段成為次要的了。由此展望21世紀，力學加電子計算機將成為工程設計的主要手段�！� 計算固體力學的發(fā)展方向是：在數(shù)值方法方面，利用多種數(shù)值方法的優(yōu)點，取長補短，提高大型系統(tǒng)的非線性分析、隨機分析、耦合分析等算法的精度和效率，改進其穩(wěn)定性和收斂性；在應用方面，充分利用計算機圖像、數(shù)據(jù)庫、人工智能等技術，并可與優(yōu)化設計、可靠性設計等相結合，發(fā)展多功能、自動化的通用或專用工程軟件系統(tǒng)，將突破經(jīng)典力學的框架，繼而滲入到諸如生物力學、量子力學等領域，形成新的交叉學科。本書將討論線性、材料非線性、幾何非線性、動力學問題和熱分析問題；涉及加權余量法、有限元法、邊界元法、無網(wǎng)格法和離散元法等，主要介紹這些方法的基本原理和概念。鑒于研究生曾學過“數(shù)值分析”、“線性代數(shù)”與“彈性理論”，為了避免重復，不再贅述有限差分法、矩陣算法和變分法。著名的有限元法、邊界元法既可以從變分原理推出，也可以用加權余量法推出。已經(jīng)證明，加權余量法用于存在泛函極值的微分方程與泛函極值是等價的，遺憾的是，至今還有一部分微分方程沒有找到對應的泛函。換句話說，直接針對原始微分方程推導出來的加權余量法比變分法更有優(yōu)勢，這是因為它也適用于不能給出泛函(需對其求極小值)的那些問題。既然加權余量法包容了變分原理中泛函極值、有限元法、邊界元法等的最普遍原理，它更容易推廣應用到不同微分方程的其他問題，所以本書以加權余量法開篇。有限元法是當代計算固體力學應用的核心，著墨最多。邊界元法是對有限元法的補充，二者取長補短，其耦合計算方法將來也許是個發(fā)展方向，故將邊界元法作為單獨章節(jié)進行核心技術的介紹。目前，無網(wǎng)格法是計算固體力學研究領域的前沿熱點，出生較晚，有待成長，甚至有些概念的“名字”還在爭議之中。無網(wǎng)格法有許多優(yōu)點，甚至有專家預測無網(wǎng)格法將成為繼有限元法之后新一代的數(shù)值方法。所以，安排在邊界元法章節(jié)之后，單獨介紹無網(wǎng)格法，便于啟迪這方面的研究。不論有限元法、邊界元法，還是無網(wǎng)格法，均是基于連續(xù)介質力學基礎之上，在非連續(xù)介質力學領域的計算又如何呢？離散元法就是該領域數(shù)值計算方法的典型代表，主要用來模擬大量顆粒在給定條件下如何運動。在計算機的輔助下，離散元法甚至可以完成模擬“介于流體和固體之間的顆�；蛘叻勰�”受力與運動分析。離散元法的應用已擴展到連續(xù)介質及連續(xù)介質向非連續(xù)介質轉化的力學問題。例如，沖擊、侵徹等動載荷作用下材料的破壞。為了知識點的全面性，在計算固體力學的篇尾，把離散元法作為其擴充部分。思考1? 有限差分法的優(yōu)缺點各是什么？2? 計算固體力學的生命力如何？3? 回憶虛位移原理、虛功原理、最小勢能原理、里茲法。4? 什么是自然變分原理和廣義變分原理？彈性力學最小勢能原理和最小余能原理都屬于自然變分原理。在自然變分原理中試探函數(shù)事先應滿足規(guī)定的條件。例如，最小勢能原理中位移試探函數(shù)應事先滿足幾何方程和給定的位移邊界條件；最小余能原理中應力試探函數(shù)應事先滿足平衡方程和給定的外力邊界條件。如果這些條件未事先滿足，則需要利用一定的方法將它們引入泛函。這類變分原理稱為約束變分原理，或廣義變分原理。利用廣義變分原理可以擴大選擇試探函數(shù)的范圍，從而提高利用變分原理求解數(shù)學物理問題的能力。第1章加權余量法第1章加權余量法〖1〗1?1微分方程的等效積分應用科學和工程問題往往可以歸結為：在一定邊界條件、初始條件下，求解問題的控制微分方程(組)。微分方程(組)可以是常微分方程、偏微分方程，線性的或非線性的。例如，某一應用科學問題中的控制微分方程式及邊界條件分別為A(u)-f=0(V域)
B(u)-g=0(Γ邊界)(1?1?1)
式中，u為待求的函數(shù)；A、B為微分算子；f、g為不含u的已知函數(shù)。微分方程組(1?1?1)的等效積分形式∫V?1A(u)-fdV+∫Γ?2B(u)-gdΓ=0(1?1?2)
式中，?1、?2為任意函數(shù)，也稱為權函數(shù)。由于?1、?2為任意函數(shù)，上式與微分形式(1?1?1)是完全等價的。假設微分方程組(1?1?2)中A的微分算子為n階，對微分方程組的等效積分形式(1?1?2)進行m次分部積分，得到微分方程組(1?1?1)等效積分弱形式∫VC(?1)E(u)dV+∫ΓD(?2)F(u)dΓ=0(1?1?3)分部積分后，微分算子E、F為n-m階，微分算子C、D為m階。將微分方程轉化為弱形式，這個弱并不是弱化對方程解的結果，而是弱化對解方程的要求，具體是弱化待求函數(shù)u的連續(xù)性，當然這種弱化是以提高權函數(shù)的連續(xù)性為代價的。權函數(shù)為選擇的已知函數(shù)，能夠滿足分部積分方法對權函數(shù)連續(xù)性要求。這種弱化換來了以下好處：(1) 降低對未知函數(shù) u的連續(xù)性的要求，從而可以在更廣泛的范圍內選擇試探函數(shù)；(2) 對連續(xù)介質問題，便于有限元構造單元和插值函數(shù)；(3) 在物理上更符合實際問題對未知函數(shù) u連續(xù)性的要求。如果在微分方程的等效積分弱形式中，對場函數(shù)和任意權函數(shù)的連續(xù)性要求是相同的，則稱為微分方程的對稱等效積分弱形式；如果對場函數(shù)和任意權函數(shù)的連續(xù)性要求是不相同的，則稱為微分方程的非對稱等效積分弱形式。以二維穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的微分方程和邊界條件等效的積分弱形式(1?1?4)進行說明。-∫eΩ??1?xλx?T?x+??1?yλy?T?y-?1QdΩ
+∫Γ1+2+3?1λx?T?xnx+λy?T?ynydΓ
+∫Γ2?2λx?T?xnx+λy?T?yny-qdΓ
+∫Γ3?3λx?T?xnx+λy?T?yny-h(Tf-Ts)dΓ=0(1?1?4)
式中，e表示單元范圍內積分；Ω為體積；T為單元邊界；h為換熱系數(shù)；Tf為環(huán)境溫度；Ts為壁面溫度；λx、λy、λz為導熱系數(shù);Q為內熱源密度。熱傳導系數(shù)λ以其自身出現(xiàn)，而場函數(shù)溫度T則以一階導數(shù)形式出現(xiàn)，因此它允許在域內熱傳導系數(shù)以及溫度的一階導數(shù)出現(xiàn)不連續(xù)，但這在微分方程中是不允許的。同時，積分弱形式對函數(shù)溫度T的連續(xù)性要求的降低是以提高權函數(shù)的連續(xù)性要求為代價的，由于原來對權函數(shù)?并無連續(xù)性要求，但是適當提高對其連續(xù)性要求并不困難，因為它們是可以選擇的已知函數(shù)。這種降低對函數(shù)溫度T連續(xù)性要求的做法在近似計算中，尤其是在有限單元法中是十分重要的。值得指出的是，從形式上看弱形式對函數(shù)溫度T的連續(xù)性要求降低了，但對實際的物理問題卻常常較原始的微分方程更逼近真解，因為原始微分方程往往對解提出了過分平滑的要求。例題1推導固支梁彎曲問題微分方程等效的積分弱形式。解固支梁彎曲問題微分方程及邊界條件EJd4wdx4-q=0，x∈(0，l)w=0，dwdx=0，x=0，l如果不考慮邊界條件，引入任意函數(shù)?作為權函數(shù)，微分方程的等效積分形式如下：∫l0?EJd4wdx4-qdx=0，x∈(0，l)
對該等效積分形式要求域內?為三階導數(shù)連續(xù)，很難實現(xiàn)。進行2次分部積分，得到微分方程的等效積分弱形式：∫l0d2?dx2EJd2wdx2dx-∫l0?qdx+?EJd3wdx3l0-d?dxEJd2wdx2l0=0