目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 微分流形 1
§1.1 流形的定義和例子 1
§1.2 子流形8
§1.3 單位分解 16
§1.4 切空間和切映射 25
§1.5 Sard定理及應(yīng)用33
§1.6 Lie 群初步 39
第2章 流形上的微積分 47
§2.1 切叢和切向量場(chǎng) 47
§2.2 可積性定理及應(yīng)用 56
§2.3 向量叢和纖維叢 63
§2.4 張量叢.70
§2.5 微分形式 76
§2.6 帶邊流形 88
§2.7 Stokes積分公式 91
第3章 流形的幾何 99
§3.1 度量回顧 99
§3.2 聯(lián)絡(luò)105
§3.3 曲率113
§3.4 聯(lián)絡(luò)和曲率的計(jì)算 120
§3.4.1 活動(dòng)標(biāo)架法 121
§3.4.2 正規(guī)坐標(biāo) 126
§3.5 子流形幾何 130
§3.5.1 第二基本形式 130
§3.5.2 活動(dòng)標(biāo)架法 132
§3.5.3 極小子流形 134
§3.5.4 黎曼淹沒 141
§3.6 齊性空間 145
§3.6.1 Lie 群和不變度量 145
§3.6.2 齊性空間 148
§3.6.3 對(duì)稱空間 151
§3.7 Gauss-Bonnet-Chern公式 157
§3.7.1 向量場(chǎng)的指標(biāo) 158
§3.7.2 單位球叢上的計(jì)算 161
§3.8 Chern-Weil理論167
§3.9 主叢簡介 176
§3.9.1 主叢上的聯(lián)絡(luò)和曲率 176
§3.9.2 主叢上的Chern-Weil理論 183
第4章 流形的上同調(diào) 189
§4.1 de Rham 上同調(diào)回顧 189
§4.2 映射度回顧 195
§4.3 de Rham上同調(diào)群的計(jì)算.204
§4.3.1 群作用與上同調(diào) 204
§4.3.2 Mayer-Vietoris正合序列 210
§4.4 Thom 類和相交數(shù) 217
§4.4.1 Thom類 217
§4.4.2 相交數(shù) 222
§4.5 Hodge理論.227
§4.5.1 Hodge星算子 228
§4.5.2 Bochner技巧 233
§4.6 Dirac 算子 240
§4.6.1 Clifford代數(shù) 240
§4.6.2 Clifford叢 249
第5章 流形上的橢圓算子 256
§5.1 Sobolev空間 256
§5.2 Hodge定理的證明 262
§5.3 熱方程與熱核 270
§5.4 跡與指標(biāo)公式 281
§5.5 指標(biāo)公式的證明 288
§5.5.1 Dirac算子的指標(biāo)公式 288
§5.5.2 諧振子 293
§5.5.3 Atiyah-Singer指標(biāo)公式 296
參考文獻(xiàn) 302
索引 304