目錄
前言
第一版前言
第7章 定積分 1
7.1 定積分的概念和基本性質(zhì) 1
7.1.1 定積分概念的引出.1
7.1.2 定積分的定義 6
7.1.3 定積分的基本性質(zhì).9
7.2 定積分的計(jì)算 19
7.2.1 牛頓–萊布尼茨公式 19
7.2.2 定積分的換元積分法和分部積分法 22
7.3 連續(xù)函數(shù)的可積性及原函數(shù)的存在性 30
7.3.1 函數(shù)可積的柯西準(zhǔn)則與連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的可積性 30
7.3.2 積分中值定理 33
7.3.3 變限積分和連續(xù)函數(shù)原函數(shù)的存在性 36
7.4 函數(shù)可積的達(dá)布準(zhǔn)則 40
7.4.1 上積分和下積分 40
7.4.2 達(dá)布準(zhǔn)則.44
7.4.3 可積函數(shù)乘積的可積性 48
7.4.4 積分第二中值定理 49
第7章 綜合習(xí)題 55
第8章 定積分的應(yīng)用 61
8.1 定積分在分析學(xué)中的應(yīng)用 61
8.1.1 一階線性微分方程 61
8.1.2 格朗沃爾引理 62
8.1.3 積分型余項(xiàng)的泰勒公式 63
8.1.4 高階原函數(shù) 64
8.1.5 斯特林公式 66
8.2 定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用 69
8.2.1 平面圖形的面積 69
8.2.2 旋轉(zhuǎn)體的體積 75
8.2.3 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 78
8.2.4 曲線的弧長(zhǎng) 81
8.3 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用.86
8.3.1 已知質(zhì)量密度求質(zhì)量與質(zhì)心和已知電荷密度求電量 86
8.3.2 由質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的曲線對(duì)質(zhì)點(diǎn)的吸引力和帶電導(dǎo)線對(duì)點(diǎn)電荷的庫(kù)侖力 89
8.3.3 變力做的功 92
8.3.4 萬(wàn)有引力定律的導(dǎo)出 94
第8章 綜合習(xí)題 101
第9章 廣義積分 104
9.1 無(wú)窮積分 104
9.1.1 問題的引出 104
9.1.2 無(wú)窮積分的定義 106
9.1.3 無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘呐卸?110
9.2 瑕積分 121
9.2.1 瑕積分的定義 121
9.2.2 瑕積分?jǐn)可⑿缘呐卸?124
9.2.3 瑕積分與無(wú)窮積分的關(guān)系 128
9.3 一些定積分公式的推廣 131
第9章 綜合習(xí)題 143
第10章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 147
10.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念 147
10.1.1 級(jí)數(shù)問題的提出 147
10.1.2 無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念 152
10.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 158
10.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其斂散性準(zhǔn)則 158
10.2.2 比較判別法 161
10.2.3 檢比法和檢根法 164
10.2.4 積分判別法 167
10.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 172
10.4 級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 182
10.5 零測(cè)集和勒貝格定理 193
10.5.1 可數(shù)集和零測(cè)集 193
10.5.2 非負(fù)可積函數(shù)積分等于零的充要條件 196
10.5.3 勒貝格定理 198
10.5.4 牛頓–萊布尼茨公式和分部積分公式 201
第10章 綜合習(xí)題 205
第11章 函數(shù)序列和函數(shù)級(jí)數(shù) 210
11.1 函數(shù)序列的一致收斂 210
11.1.1 問題的提出 210
11.1.2 函數(shù)序列一致收斂的定義 216
11.1.3 一致收斂函數(shù)序列的性質(zhì) 221
11.2 魏爾斯特拉斯逼近定理和阿爾澤拉–阿斯科利定理 227
11.2.1 魏爾斯特拉斯第一逼近定理 228
11.2.2 魏爾斯特拉斯第二逼近定理 232
11.2.3 阿爾澤拉–阿斯科利定理 234
11.3 函數(shù)序列的積分平均收斂 240
11.3.1 p 方可積函數(shù) 240
11.3.2 積分平均收斂 243
11.4 函數(shù)級(jí)數(shù) 253
11.4.1 函數(shù)級(jí)數(shù)的逐點(diǎn)收斂和一致收斂 253
11.4.2 一致收斂的判別法 256
11.4.3 和函數(shù)的性質(zhì) 260
11.4.4 函數(shù)級(jí)數(shù)的積分平均收斂 262
第11章 綜合習(xí)題 267
第12章 冪級(jí)數(shù) 271
12.1 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域 271
12.2 和函數(shù)的性質(zhì) 278
12.3 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 286
12.3.1 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的必要條件和充分條件 286
12.3.2 基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 290
12.3.3 解析函數(shù) 294
第12章 綜合習(xí)題 300
第13章 傅里葉級(jí)數(shù).304
13.1 函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 305
13.2 傅里葉級(jí)數(shù)收斂的條件 315
13.2.1 部分和的表達(dá)式 315
13.2.2 黎曼局部化原理 317
13.2.3 迪尼–利普希茨收斂定理 322
13.2.4 狄利克雷收斂定理 327
13.3 傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 333
13.3.1 由函數(shù)的光滑性推斷傅里葉系數(shù)的衰減性 333
13.3.2 由傅里葉系數(shù)的衰減性推斷函數(shù)的光滑性 335
13.4 傅里葉級(jí)數(shù)的積分平均收斂 341
13.5 有限區(qū)間上的傅里葉展開 348
第13章 綜合習(xí)題 360
部分習(xí)題參考答案和提示 364
參考文獻(xiàn) 407