引言
畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得和美國(guó)前總統(tǒng)加菲爾德有什么共同之處?答案是他們各自以不同的方法證明了畢達(dá)哥拉斯定理。
在聚會(huì)上聽(tīng)到關(guān)于必須在學(xué)校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)面言論并不罕見(jiàn),特別是當(dāng)這群人中有一位數(shù)學(xué)家時(shí)尤其如此。如果這些受過(guò)良好教育的人對(duì)自己在學(xué)校里數(shù)學(xué)成績(jī)不好這件事流露出自豪,那就更糟糕了。有些人會(huì)聲稱幾乎記不起任何學(xué)生時(shí)代學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué),但他們?nèi)詴?huì)記得"a的平方加上b的平方等于C的平方(a2 b2=C2),這可能部分是因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系式使用了字母表的前三個(gè)字母。有些人絞盡腦汁還能回憶起這一關(guān)系的發(fā)現(xiàn)者:畢達(dá)哥拉斯。但不幸的是,這一關(guān)系式的含義在大多數(shù)人的記憶中并不牢靠。事實(shí)上,這條顯然與幾何聯(lián)系在一起的著名定理,同時(shí)也是三角學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ),還進(jìn)入了數(shù)不清的其他領(lǐng)域,如藝術(shù)、音樂(lè)、建筑和各種數(shù)學(xué)領(lǐng)域(主要是關(guān)于數(shù)的研究)。這一關(guān)系式是如何演變的?為什么這一關(guān)系式吸引了無(wú)數(shù)代人?這位名叫畢達(dá)哥拉斯的精彩與爭(zhēng)議并存的人是誰(shuí)?這些只是我們?cè)趯?duì)這一最流行的數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行廣泛探究時(shí)要考慮的幾個(gè)非常誘人的問(wèn)題。
從最基礎(chǔ)的意義上說(shuō),畢達(dá)哥拉斯定理指出,如果你在一個(gè)直角三角形的每條邊上畫(huà)一個(gè)正方形,如圖1所示,那么其中兩個(gè)較小正方形(即在兩條相互垂直的邊上的正方形這兩條邊被稱為這個(gè)三角形的直角邊)的面積之和等于在最長(zhǎng)邊上所畫(huà)的正方形的面積,最長(zhǎng)邊被稱為斜邊。
雖然我們永遠(yuǎn)無(wú)法確定是誰(shuí)首先在直角三角形的各邊之間建立了這種關(guān)系,但西方文化將這種關(guān)系的發(fā)現(xiàn)歸功于畢達(dá)哥拉斯及其追隨者。這些人為這一非凡的結(jié)果賦予了神秘的意義。
這種關(guān)系在我們的生活中以多種形式出現(xiàn)。例如,如圖2所示的瓷磚地面。在直角三角形的兩條直角邊上的兩個(gè)正方形中,有陰影和無(wú)陰影的三角形的數(shù)量之和等于此三角形斜邊上的正方形中有陰影和無(wú)陰影三角形的數(shù)量。
畢達(dá)哥拉斯定理研究的主導(dǎo)思想一直是尋找該定理的新證明和新應(yīng)用。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái),畢達(dá)哥拉斯定理原創(chuàng)證明的尋找一直吸引著數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者。目前已發(fā)表了500多種證明,它們都驗(yàn)證了這一著名定理的正確性。我們將探討一些值得關(guān)注的證明:那些非常簡(jiǎn)潔的證明,那些極為聰明的證明,以及那些真正優(yōu)雅的證明!我們還將追蹤這條簡(jiǎn)單但強(qiáng)大的定理的無(wú)所不在,它對(duì)數(shù)學(xué)和許多其他學(xué)科都產(chǎn)生了重大的影響。還有其他一些得益于畢達(dá)哥拉斯的研究,如音樂(lè),也將在接下來(lái)的章節(jié)中加以研究。
一個(gè)直角三角形的外形顯然取決于它各邊的長(zhǎng)度。當(dāng)兩個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)成比例時(shí),它們就是相似三角形。當(dāng)一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)是另一個(gè)三角形各邊長(zhǎng)的倍數(shù)時(shí),這一點(diǎn)尤其貼切。某些三角形的三邊長(zhǎng)都是自然數(shù),在這樣的三角形中,至少存在一個(gè)三角形,其各邊長(zhǎng)有一個(gè)公因子。其中,特別令人感興趣的,是直角三角形的整數(shù)邊長(zhǎng)之間沒(méi)有公因子的情況。我們稱之為本原(primitive)直角三角形,而此時(shí)這三條邊長(zhǎng)構(gòu)成我們所謂的本原畢達(dá)哥拉斯三元組。從畢達(dá)哥拉斯三元組中可以發(fā)現(xiàn)一些精彩的性質(zhì),我們將在本書(shū)中探索這些性質(zhì)。例如,讓我們考慮最流行的畢達(dá)哥拉斯三元組:(3,4,5)。成為畢達(dá)哥拉斯三元組的條件,是前兩個(gè)數(shù)的平方之和必須等于第三個(gè)數(shù)的平方,即a2 b2必須等于C2。