緒　論

身為女性，意味良多。

其中的很多意味與身為女性其實(shí)毫無干系，是人為設(shè)定、發(fā)明、強(qiáng)加、附加的，是不必要的，是阻礙、破壞社會發(fā)展的，其影響不僅女性能感受到，其他人也都能感受到。

對此，數(shù)學(xué)思維又能發(fā)揮怎樣的作用？

數(shù)學(xué)是一個(gè)由男性主導(dǎo)的領(lǐng)域。作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一名女性，常常有人向我問及有關(guān)性別的問題：男多女少的情況如此嚴(yán)重是什么感覺？我對所謂性別上的能力差異有什么看法？我認(rèn)為應(yīng)該怎樣解決性別不平等的問題？怎樣才能找到更多的榜樣？

然而，有很長一段時(shí)間，我對這些問題并不感興趣。在我沿著學(xué)術(shù)的臺階一路拾級而上時(shí)，我心里想的都是怎樣思考和怎樣交流。

當(dāng)我終于開始思考身為女性之事時(shí)，我才突然想起問自己：我之前怎么就沒有覺得需要考慮這個(gè)問題呢？還有，我們怎樣才能達(dá)到一種境界，讓其他人也都不需要考慮這個(gè)問題呢？我夢想有一天，大家考慮的是性格而不是性別，是從性格而不是性別的角度樹榜樣，注重的是不同領(lǐng)域、不同行業(yè)的性格類型而不是性別平衡。

這種想法植根于我作為數(shù)學(xué)家的個(gè)人經(jīng)歷，卻跨越并延伸至我的所有其他經(jīng)歷在數(shù)學(xué)以外的職場中，在尋常的社會交往中，在這個(gè)仍然以男性為主導(dǎo)的世界里。這種主導(dǎo)不是像數(shù)學(xué)領(lǐng)域那樣以龐大的人數(shù)來表現(xiàn)的，而是以權(quán)力集中為特征。

我年輕的時(shí)候可沒有任何女性數(shù)學(xué)家可以做榜樣。一方面，那時(shí)候的女性數(shù)學(xué)家少之又少；另一方面，就算我好不容易遇見那么一兩位，也是既沒有什么特別的親近感，也沒有特別想變得和她們一樣的欲望。不過，我在成長過程中，身邊也的確不乏身份各異、成就斐然的女強(qiáng)人：我的母親、我的鋼琴教師、我的女校長，還有首相、女王等等。

我努力拼搏以獲得成功，但這種成功是社會定義的成功，是學(xué)習(xí)成績好、上名牌大學(xué)、獲得終身職位。我是按照既有的結(jié)構(gòu)及上一代學(xué)者傳承下來的藍(lán)圖拼搏成功的。

從一種意義而言，我是成功的，因?yàn)槲铱雌饋硎浅晒α�；從另一種意義而言，我又并不成功，因?yàn)槲覜]感覺到成功的喜悅。我發(fā)現(xiàn)那些標(biāo)志我表面成功的價(jià)值觀其實(shí)不是我自己的，而是別人定義的。因此，我轉(zhuǎn)而另辟蹊徑，擯棄外部施加的卓越標(biāo)志，按幫助他人、貢獻(xiàn)社會的價(jià)值觀來實(shí)現(xiàn)自己的人生目標(biāo)。

在此過程中，我領(lǐng)悟了一些身為女性需要學(xué)習(xí)的東西，學(xué)到了以前從未重視的如何做人人的道理，理解了人類對性別問題的思考方式是怎樣在個(gè)體、人際、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的維度上阻礙自身前進(jìn)的。

我頭腦中始終縈繞未決的問題是：作為數(shù)學(xué)家，我能奉獻(xiàn)什么？我又該怎樣奉獻(xiàn)，這不單單是從人生經(jīng)歷而言，更是從數(shù)學(xué)本身而言？

數(shù)學(xué)是什么？

大多數(shù)有關(guān)性別的文章都是從社會學(xué)、人類學(xué)、生物學(xué)、心理學(xué)的視角，或者干脆以徹頭徹尾的女性主義理論（或反女性主義）的視角，而其中往往或好或壞都會涉及統(tǒng)計(jì)數(shù)字：不同場景下兩性比例的統(tǒng)計(jì)數(shù)字、隨機(jī)測試中所謂性別差異（或缺乏性別差異）的統(tǒng)計(jì)數(shù)字、不同文化中不同成就程度的統(tǒng)計(jì)數(shù)字，如此等等。

純數(shù)學(xué)在這類討論中又占據(jù)著何種地位呢？

數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)字和等式。對此我之前已有過大量論述。誠然，無論是在歷史上還是在大多數(shù)教育體系中，數(shù)學(xué)都起步于數(shù)字和等式，但是，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵早已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過數(shù)字和等式本身，還包括關(guān)于形狀、模式、圖形、交互和關(guān)系的研究。

其中最為核心的，也是驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)命脈的，是可以作為立論框架的那部分主體結(jié)構(gòu)，那才是支撐數(shù)學(xué)運(yùn)轉(zhuǎn)的基石。

這個(gè)框架由抽象和邏輯的雙重原則共同組成。抽象是在某種情形下透過表面細(xì)節(jié)看到其核心的過程。抽象是建構(gòu)邏輯論證的起點(diǎn)，因?yàn)檫壿嬚撟C必須是在核心層面上進(jìn)行，而不是在表面細(xì)節(jié)的層面上做功。

除了計(jì)算答案和解題，數(shù)學(xué)還利用上述雙重原則處理很多問題，揭示建立在思想之上但又往往隱匿于其復(fù)雜性之中的深層結(jié)構(gòu)。我相信，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)有這個(gè)特點(diǎn)，才能幫助我們解答有關(guān)性別的棘手問題，而這些問題的確是一套復(fù)雜而模糊的理念，其背后隱藏著諸多奧秘。

數(shù)學(xué)是怎樣運(yùn)作的？

數(shù)學(xué)家蒂姆·高爾斯爵士（Sir Tim Gowers）論述了數(shù)學(xué)的兩種文化，即解決問題和構(gòu)建理論。我覺得，在大多數(shù)人眼里，數(shù)學(xué)的全部意義就在于解決問題，而構(gòu)建理論則是大多數(shù)人聞所未聞或者根本無人提及的。當(dāng)然，二者也并不是截然分立的。我覺得，數(shù)學(xué)只有在二者兼具時(shí)才能達(dá)到最佳效果，即在構(gòu)建理論的同時(shí)也解決部分問題。但是，構(gòu)建理論又是什么意思呢？

數(shù)學(xué)理論屬于描述性理論，而不是規(guī)定性理論。數(shù)學(xué)理論是描述一些表面問題的固在根源，但這并不僅僅是為了預(yù)測事物的發(fā)展方向，還能幫助我們轉(zhuǎn)變思路，揭示問題的根源，同時(shí)幫助我們了解問題某些方面的運(yùn)作機(jī)理。理論是抽象的，我們忽略了其中的一部分表面細(xì)節(jié)，但看清了內(nèi)部發(fā)生的事情。

數(shù)學(xué)中的理論往往起始于某種觀念或可能性，是由這種觀念的結(jié)論、后果或?qū)傩约�結(jié)而成的。有時(shí)候，理論的確是某個(gè)既有觀念的重構(gòu)，而即便是稍加重構(gòu)也可形成截然不同的理論。如果你站在芝加哥漢考克中心大樓的樓頂，便會將整個(gè)城市盡收眼底，能看到廣袤的文明叢林一直延伸到地平線。但是，如果你只是略微轉(zhuǎn)換一下角度，直視密歇根大道，那片叢林就會變成一個(gè)網(wǎng)格系統(tǒng)，以近乎完美的排列突然彈跳到你的眼前。生活中，有時(shí)候只需略微轉(zhuǎn)換一下角度就會有新的體驗(yàn)，而新的數(shù)學(xué)理論往往就是這樣產(chǎn)生的。

接下來，我將提出一個(gè)理論（或者可能只是一種重構(gòu)），來解決一個(gè)問題。

什么問題？

我在本書中要解答的問題，是有關(guān)性別平等之爭的分裂性。雖然不是所有的爭論都有分裂性，但很多都有。有時(shí)候由于對性別的談?wù)摲绞讲煌�，爭論會把人們推向相反的方向；有時(shí)候由于對討論的內(nèi)容不甚明了，又導(dǎo)致爭論徒勞無功。以女性主義一詞為例，這個(gè)詞從一開始就存在一個(gè)問題：關(guān)于女性主義的定義五花八門。其對不同的人群而言有截然不同的蘊(yùn)涵，所以爭論的結(jié)果也免不了南轅北轍。有些人用的是最狹義的定義，為的是理直氣壯地詆毀女性主義。例如：

女性主義意味著相信女人比男人好，男人都是壞蛋。

其他人用的是最寬泛的定義，為的是說服大家都來支持女性主義，甚至是為了說服她們自己無論怎樣都是為了女性主義的偉大事業(yè)。例如：女性主義意味著相信女性與男性擁有同樣多的權(quán)利去選擇自己的生活方式。

由于有些人的定義非常狹隘，有些人的定義又太過寬泛，在女性主義尚未真正得到定義之前，它就是一個(gè)分裂性概念。

除了這些定義之爭外，還有各種不同的原因讓一些人迫不及待地撇清與女性主義一詞的干系。有些人將女性主義臉譜化為憤怒、仇視男人、反對家庭的女性，而這對于任何性別的潛在的女性主義者而言都是一個(gè)令人反感的形象，同時(shí)也凸顯了女性主義概念具有分裂性的另一個(gè)來源：即便女性主義的本意是想克服男女之別，但它的本質(zhì)卻是要理清男女之別。不承認(rèn)男女有別，就難以論證男女問題，不然我們就不會分別被稱呼為男人和女人了。如此，我們就會被帶偏，脫離主題，只顧爭論男人與女人在哪些方面不同，在哪些方面沒有不同。這種爭論既讓人分心，又毫無意義。

如此缺乏清晰性將會造成一個(gè)問題，它將我們帶入一場元論證中，即一種有關(guān)我們應(yīng)該論證什么的論證中。有一種觀念認(rèn)為：所有女性唯一共同的遭受壓迫的經(jīng)歷，就是最具優(yōu)勢的那些女性白人女性（具體而言是指富有的白人異性戀女性）所受到壓迫的經(jīng)歷。除了這些優(yōu)越女性所遭遇的問題之外，我們還面臨很多其他的問題，也可能是更糟的問題，如種族主義、恐同癥、財(cái)富不平等。因此，我們還可能因?yàn)檎撟C哪些問題最重要、最緊迫而分心，從而忽略了如何解決所有問題。

哪些人又能從這些元論證中獲益呢？我心中的答案是：當(dāng)前實(shí)權(quán)在握且想守住權(quán)力的人。當(dāng)女性圍繞女性主義是什么意思、女性主義的哪個(gè)分支最有發(fā)言權(quán)、誰是最受壓迫的人而相互爭戰(zhàn)不休時(shí)，當(dāng)因種族、性、財(cái)富、地位、教養(yǎng)、教育、性別表達(dá)、體力或運(yùn)動(dòng)能力等原因而倍感受壓迫的男性也在為發(fā)出聲音而戰(zhàn)時(shí)，當(dāng)這種意見分歧在所有因任何原因感到身處劣勢的人之間肆虐時(shí)，那些在當(dāng)前手握實(shí)權(quán)的人就可以摩拳擦掌，趁機(jī)鞏固自己的權(quán)力了。

然而，下定義和進(jìn)行元論證，是數(shù)學(xué)很擅長的領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)視角

在數(shù)學(xué)中，我們通過下基本定義來提出理論，通過探討一些關(guān)鍵事例來闡明定義，通過論證理論的普遍性和有用性來證明它的合理性。理論之所以有用，是因?yàn)樗�能幫助我們解決具體的問題；理論之所以有用，是因?yàn)樗�能幫助我們更加清晰地思考問題。我要說的是，理論就具有這樣的雙重功效。

在數(shù)學(xué)中，事物必須足夠足夠普遍，足夠足夠有用。不求在各種可能的情形下都有用，哪怕只是在一種情形下有用也就夠了，盡管這種有用性的確需要與它可能造成的阻礙效應(yīng)相權(quán)衡。這有異于證據(jù)型論證模式。一個(gè)數(shù)學(xué)理論是否合理，不是取決于大規(guī)模隨機(jī)抽樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。證據(jù)型論證一般都是通過大規(guī)模抽樣來測試某些項(xiàng)目，看看是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著性差異。這大體上是不是好過什么都不做呢？就藥物效果測試而言，這大體上是不是好過安慰劑呢？就男女差別而言，男性行為與女性行為大體上有沒有區(qū)別呢？

數(shù)學(xué)推理則略有不同。首先，數(shù)學(xué)推理依據(jù)的是邏輯而不是證據(jù)。其次，數(shù)學(xué)推理更傾向于問：這在什么情形下會產(chǎn)生影響？甚或是：這在什么情形下會產(chǎn)生影響？這與問某件事物會不會產(chǎn)生影響截然不同。要記住，平均一詞并不適用于單個(gè)的個(gè)體，無論它是指均值、眾數(shù)還是中位數(shù)。平均的人并不是真實(shí)的人，說平均的人做了某事或別的什么事，并不是說多數(shù)人都會表現(xiàn)出這樣的行為。

有不少證據(jù)型結(jié)果可能在均值上適用于一大批的人群樣本，但卻并不適用于單個(gè)的個(gè)體。基于大樣本的平均結(jié)果并不能反映我們眼前個(gè)體的任何具體信息。這包括人們需要的睡眠量（有些人確實(shí)不需要太多睡眠）、保持健康體重所需的卡路里量（有些人需要的進(jìn)食量遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于官方建議的日攝入量），做運(yùn)動(dòng)是否會讓人感覺更好（根據(jù)研究的平均值結(jié)果，做運(yùn)動(dòng)的確會讓人感覺更好，但并不是人人如此），你是不是能中彩票（中彩票的概率微乎其微，但每個(gè)星期都有人中彩票）。

人們常說，個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)并不能概化到大批的人群，但反過來也同樣成立：大批群體的均值經(jīng)驗(yàn)并不適用于個(gè)體。那么，我們又該如何思考人的問題呢？

數(shù)學(xué)的過程

數(shù)學(xué)不只是單純地計(jì)算答案。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的理論構(gòu)建部分根本不關(guān)乎計(jì)算答案。以下簡要介紹數(shù)學(xué)家構(gòu)建理論時(shí)涉及的一部分環(huán)節(jié)。通常，第一個(gè)步驟是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在基礎(chǔ)的層面上，規(guī)律可能是數(shù)字上的規(guī)律，如10的所有倍數(shù)尾數(shù)都是0；也可能是形狀上的規(guī)律，如以下三角形網(wǎng)格中就有多個(gè)小三角形拼成的不同大小的大三角形：

古往今來，人類在眾多（或所有）文化中都會用到規(guī)律，由此在小理念的基礎(chǔ)上構(gòu)建大理念。大自然同樣使用規(guī)律構(gòu)建復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，如花朵上的花瓣和菠蘿上的螺旋。根本而言，規(guī)律就是不同事物之間或同一事物不同部分之間的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，就可對規(guī)律進(jìn)行抽象化，將之引申到那些未必顯而易見的現(xiàn)象上，如行為上的規(guī)律本質(zhì)上是指某個(gè)人不同時(shí)期行為上的相似性，或廣而言之，是指不同類型的動(dòng)物或不同群落之間在行為上的相似性。

數(shù)學(xué)則是在不同事物之間建立越來越抽象的聯(lián)系，這種抽象包括忽略某種情形的具體細(xì)節(jié)，從而發(fā)現(xiàn)某些深層次的相似性。

這就是類比的原理，而數(shù)學(xué)則不僅僅是宣告存在著某種相似性，還會進(jìn)一步研究這種相似性的真正內(nèi)涵，并把它看作新的理念，進(jìn)而上升到一個(gè)更加抽象的層次。

1 2=2 1類同于以下等式：

2 5=5 2。

但在數(shù)學(xué)上，我們不會止步于此，而是說，對于任何數(shù)字a和b存在：

a b=b a。

這種抽象化不僅降低了我們觀點(diǎn)的模糊度，而且更加易于概括，可以拓寬思路，發(fā)現(xiàn)更多的例子。

同樣，如果我們想到女性在會議上不發(fā)言、女生在課堂上不提問的規(guī)律，其抽象層次上的相似性就可歸結(jié)為女性在男女混雜的環(huán)境下不發(fā)言。目前，雖然我們還沒有統(tǒng)計(jì)這種規(guī)律的普遍程度，沒有找出造成這種現(xiàn)象的原因，也沒有想出扭轉(zhuǎn)這種現(xiàn)象的方法，但在找出規(guī)律方面我們已經(jīng)走出了一步，那就是剔除無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)，重點(diǎn)關(guān)注真正重要的東西。這也是構(gòu)建良好理論的關(guān)鍵一步。

隨著我們思考為什么會出現(xiàn)某種規(guī)律，抽象化即開始發(fā)揮作用。數(shù)學(xué)的全部意義就在于問為什么，并不斷刨根問底，不斷尋找更加基本的答案。對于女性為什么在混雜人群中可能較少發(fā)言這個(gè)問題，一個(gè)膚淺的答案是因?yàn)樗齻兪桥�性。我們可以檢驗(yàn)一下這個(gè)理論，而得到的結(jié)果很可能是：有的女性實(shí)際上是發(fā)言的，而也有一些男性是不發(fā)言的。也許我們能在身為女性與不發(fā)言之間找到某種統(tǒng)計(jì)性關(guān)聯(lián)，但抽象數(shù)學(xué)則在挖掘一個(gè)更深的層次：為什么為什么身為女性會在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上導(dǎo)致這種現(xiàn)象？如果僅僅是統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的現(xiàn)象，那么就等于是未經(jīng)完全確定的因果關(guān)系，因此是不是能夠進(jìn)一步挖掘，找出其中的因果關(guān)系呢？那時(shí)我們可能會發(fā)現(xiàn)，造成這種現(xiàn)象并不是因?yàn)樗齻兪桥�性，而是關(guān)乎人與人之間的關(guān)系，關(guān)乎不同人之間相互關(guān)聯(lián)的方式。主張研究關(guān)系而不是固在特性，這與范疇論的思想不謀而合。范疇論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，也是我本人的研究領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)推理往往更像是案例研究。某些東西在這種情形下起了作用。是什么使它起了作用？我們能不能琢磨出怎樣復(fù)制它，或者讓它擴(kuò)大作用的范圍？這也是我將要運(yùn)用的思維過程。

重要的是，在這種意義上，談?wù)搨�(gè)人經(jīng)歷是有效的，只要你不聲稱你的個(gè)人經(jīng)歷必然具有普遍性、統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著性或典型性。這屬于案例研究，人們可以像數(shù)學(xué)家一樣提問：是什么讓它起作用的？我們又該怎樣在此概念的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步？

在本書中，我將列舉一些在世界上取得成就的杰出人物，作為案例研究對象，重點(diǎn)介紹他們身上的過人之處。這些人中有不少女性，她們以自己的方式取得了成就，而不是靠模仿男性的英雄主義、勇敢、破紀(jì)錄、無畏或運(yùn)動(dòng)精神。有時(shí)候，這也意味著她們的價(jià)值被社會低估了，對此我也有所闡述。我將介紹數(shù)學(xué)家埃米·諾特（Emmy Noether）、科學(xué)家喬斯林·貝爾·伯內(nèi)爾（Jocelyn Bell Burnell）和羅莎琳德·富蘭克林（Rosalind Franklin）做出的努力，活動(dòng)家蘇珊·伯頓（Susan Burton）及其倡導(dǎo)的更加人性化而非懲罰性的司法制度，弗洛倫斯·南丁格爾（Florence Nightingale）較為知名的和不太為人所知的成就，斯蒂芬妮·雪莉（Stephanie Shirley）和瑪麗·波塔斯（Mary Portas）的經(jīng)商原則，米歇爾·奧巴馬（Michelle Obama）的職業(yè)軌跡，迪爾德麗·麥克洛斯基（Deirdre McCloskey）教授從男到女的跨性別（按她的說法）經(jīng)歷。

顯而易見，我不是生物學(xué)家、心理學(xué)家、哲學(xué)家、歷史學(xué)家，也不是社會學(xué)家、性別理論家、傳記作家、神經(jīng)科學(xué)家。我是一名數(shù)學(xué)家。所以我將以數(shù)學(xué)家的身份撰寫本書，以數(shù)學(xué)家的身份構(gòu)建理論，以數(shù)學(xué)家的身份探索人生。

我將圍繞性別這一主題提出關(guān)于性別討論的整個(gè)的重構(gòu)。我將以相關(guān)的性格特質(zhì)取代性別作為重點(diǎn)，以一些新的術(shù)語為核心，幫助我們從這個(gè)全新的維度入手。我將展示這個(gè)新視角怎樣能從各個(gè)方面幫助我們向前邁進(jìn)，無論我們是否身為女性。如同眾多數(shù)學(xué)重構(gòu)一樣，相對于許多杰出人物在我之前的所寫所思，這在某種意義上只是前進(jìn)了一小步。但不知道為什么，一切似乎都只差提出一個(gè)新維度和新術(shù)語。這個(gè)問題已有很多文獻(xiàn)闡述，但都沒有提出解決方案。

我的研究領(lǐng)域范疇論也是從提出新維度和新術(shù)語入手。這顯然也只是一小步，卻對當(dāng)代數(shù)學(xué)的整體思維模式都有影響。我覺得，我們的性別認(rèn)知也可能會產(chǎn)生同樣的作用。我提出的不是關(guān)于性別的數(shù)學(xué)，而是針對性別的數(shù)學(xué)視角。我將利用這種數(shù)學(xué)思維過程來反思我們討論性別的整套方法。