目錄
前言
第1部分 概率論與 Brown 運動基礎(chǔ)
第1講 引言 3
1.1 科學(xué)研究的基本方法 3
1.2 利率 4
1.3 期權(quán)及其定價問題 5
1.4 隨機微分方程 7
1.5 Black-Scholes 方程的推導(dǎo) 8
1.6 歷史概述 9
第2講 概率論公理 11
2.1 隨機性的本質(zhì) 11
2.2 概率空間 11
2.3 例子 13
2.4 Bertrand 悖論 16
第3講 隨機變量 19
3.1 隨機變量的概念和例子 19
3.2 關(guān)于一般測度的積分 21
3.3 隨機變量的期望、方差及其概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 29
第4講 獨立性、條件期望 (一) 33
4.1 隨機變量的獨立性 33
4.2 獨立的隨機變量的性質(zhì) 35
4.3 條件期望 37
第5講 條件期望 (二)、鞅 41
5.1 條件期望的幾何定義 41
5.2 條件期望的性質(zhì) 42
5.3 鞅的定義 44
5.4 鞅不等式 45
第6講 基本概率方法 49
6.1 Chebyshev 不等式 49
6.2 Borel-Cantelli 定理 49
6.3 特征函數(shù) 51
6.4 大數(shù)定律 52
6.5 中心極限定理 55
第7講 Brown 運動的概念 57
7.1 宏觀描述: 擴散 57
7.2 微觀描述: 隨機游走 59
7.3 Brown 運動的定義及其有限維分布 62
第8講 Brown 運動的基本性質(zhì) 65
8.1 白噪聲 65
8.2 高維 Brown 運動 67
8.3 Brown 運動的鞅和 Markov 性質(zhì) 68
第9講 Brown 運動的軌道性質(zhì) 71
9.1 Brown 運動軌道的 H.lder 連續(xù)性 71
9.2 處處變差無界性 74
第10講 Brown 運動的構(gòu)造 78
10.1 Haar 函數(shù)和 Schauder 函數(shù) 78
10.2 Brown 運動的構(gòu)造 81
第2部分 隨機積分和隨機微分方程
第11講 Paley-Wiener-Zygmund 隨機積分 89
11.1 光滑被積函數(shù)的 Paley-Wiener-Zygmund 隨機積分 89
11.2 稠定有界線性算子的保范延拓 91
11.3 Paley-Wiener-Zygmund 隨機積分的定義 92
第12講 *WdW 94
12.1 平方變差 94
12.2 Riemann 和的 L2 收斂性 97
第13講 It？隨機積分及其性質(zhì) 102
13.1 非預(yù)測 σ-域流和相適應(yīng)隨機過程 102
13.2 簡單隨機過程的 It？積分 103
13.3 一般隨機過程的 It？積分 106
13.4 It？不定積分 108
第14講 It？乘積法則和 It？鏈式法則; Fokker-Planck 方程 112
14.1 It？乘積法則 112
14.2 It？鏈式法則 116
14.3 Fokker-Planck 方程 118
第15講 多元 It？隨機積分和隨機微分方程 121
15.1 多元 It？隨機積分 121
15.2 多元 It？乘積法則和 It？鏈式法則 122
15.3 隨機微分方程的概念 124
第16講 用 It？法則求解隨機微分方程 127
16.1 線性隨機微分方程的例子和解的公式 127
16.2 一類特殊形式的非線性隨機微分方程的可解性 134
16.3 變量替換求解非線性隨機微分方程 136
第17講 隨機微分方程初值問題強解的唯一性和存在性 137
17.1 唯一性 137
17.2 存在性 139
17.3 連續(xù)依賴性 146
第18講 線性隨機微分方程 148
第19講 Stratonovich 隨機積分 153
19.1 白噪聲的光滑逼近 153
19.2 Stratonovich 隨機積分和轉(zhuǎn)換公式 154
第20講 關(guān)于 Poisson 過程的隨機積分 158
20.1 Poisson 過程及其隨機積分 158
20.2 鏈式法則 160
20.3 Poisson 隨機積分的鞅的性質(zhì) 161
20.4 定理 1 的證明 164
第21講 Poisson 過程驅(qū)動的隨機微分方程 171
21.1 解的存在性和唯一性定理 171
21.2 線性 Poisson 隨機微分方程 177
第3部分 隨機微分方程的應(yīng)用及數(shù)值計算
第22講 停時和 Feynman-Kac 公式 183
22.1 停時 183
22.2 停時作為積分限的 It？隨機積分 186
22.3 帶停時的 It？公式 186
22.4 Feynman-Kac 公式 188
第23講 最優(yōu)停時與動態(tài)規(guī)劃 192
23.1 最優(yōu)停時問題 192
23.2 價值函數(shù)的求解 193
23.3 利用價值函數(shù)求解最優(yōu)停時 195
第24講 傳染病的隨機微分方程模型 197
24.1 確定性模型 197
24.2 帶隨機效應(yīng)的傳染病模型 200
第25講 期權(quán)定價理論 203
25.1 期權(quán)的定義、分類和定價問題 203
25.2 Black-Scholes 公式 204
25.3 Black-Scholes 公式的推廣: 支付紅利情形 209
25.4 Black-Scholes 方程的數(shù)值求解: 差分格式 211
第26講 隨機微分方程的數(shù)值求解方法 215
26.1 顯式數(shù)值方法 215
26.2 隱式數(shù)值方法 218
26.3 Brown 運動及隨機微分方程的數(shù)值模擬 219
參考文獻 222
索引 224