目錄
前言
數(shù)值計(jì)算引論 1
0.1研究數(shù)值分析的必要性 1
0.2誤差來(lái)源與誤差概念 1
0.2.1誤差來(lái)源 2
0.2.2絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 3
0.2.3有效數(shù)字 4
0.3數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的若干問(wèn)題 5
0.3.1防止有效數(shù)字的損失 5
0.3.2減少計(jì)算次數(shù) 7
0.3.3避免使用不穩(wěn)定的數(shù)值方法 8
第1章線(xiàn)性代數(shù)方程組數(shù)值解法 9
1.1向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 9
1.1.1向量范數(shù) 10
1.1.2矩陣范數(shù) 10
1.1.3有關(guān)定理 15
1.2Gauss消去法 17
1.2.1Gauss消去法 17
1.2.2Gauss-Jordan消去法 20
1.2.3列選主元素消去法 21
1.2.4全主元素消去法 23
1.3三角分解法 23
1.3.1Doolittle分解方法 28
1.3.2Crout分解方法 31
1.3.3Cholesky分解方法 33
1.3.4解三對(duì)角方程組的追趕法 38
1.4矩陣的條件數(shù)及誤差分析 40
1.4.1初始數(shù)據(jù)誤差的影響及矩陣的條件數(shù) 40
1.4.2病態(tài)問(wèn)題簡(jiǎn)介 43
1.5線(xiàn)性方程組的迭代解法 44
1.5.1收斂性 46
1.5.2Jacobi迭代 47
1.5.3Gauss-Seidel迭代 48
1.5.4超松弛迭代法 50
1.5.5迭代收斂其他判別方法 53
1.6梯度法 57
1.6.1等價(jià)性定理 57
1.6.2最速下降法 60
1.6.3共軛梯度法 62
習(xí)題1 68
第2章非線(xiàn)性方程和方程組的數(shù)值解法 72
2.1基本問(wèn)題 72
2.1.1引言 72
2.1.2二分法 73
2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法 75
2.2.1不動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)迭代 75
2.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂階 75
2.2.3計(jì)算效率 81
2.3Newton迭代法 81
2.3.1基于反函數(shù)Taylor展開(kāi)的迭代法 81
2.3.2Newton迭代法 83
2.3.3Newton迭代法的修正 86
2.3.4重根上的Newton迭代法 87
2.3.5割線(xiàn)法 90
2.4非線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法 93
2.4.1基本問(wèn)題 93
2.4.2非線(xiàn)性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法 94
2.4.3非線(xiàn)性方程組的Newton迭代法 96
2.4.4擬Newton法 97
習(xí)題2 100
第3章插值法與數(shù)值逼近 103
3.1多項(xiàng)式插值 103
3.1.1基本概念 103
3.1.2Lagrange插值公式 104
3.1.3Newton插值公式 110
3.1.4等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式 114
3.1.5插值公式的收斂性與數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性 117
3.1.6Hermite插值與分段插值 120
3.2樣條插值 129
3.2.1引言 129
3.2.2基本概念 129
3.2.3三彎矩插值法 132
3.2.4三轉(zhuǎn)角插值法 136
3.3最佳平方逼近 141
3.3.1函數(shù)的最佳平方逼近 141
3.3.2基于正交函數(shù)族的最佳平方逼近 146
3.3.3曲線(xiàn)擬合的最小二乘逼近 157
3.3.4多項(xiàng)式最小二乘的光滑解 161
3.4周期函數(shù)的最佳平方逼近 164
3.4.1周期函數(shù)的最佳平方逼近 164
3.4.2離散情形 165
3.4.3周期復(fù)值函數(shù)的情形 167
3.5最佳一致逼近 168
3.5.1最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性 168
3.5.2Chebyshev定理 170
3.5.3零偏差最小問(wèn)題 175
3.5.4最佳一次逼近多項(xiàng)式 175
3.5.5近似最佳一次逼近多項(xiàng)式 176
習(xí)題3 180
第4章數(shù)值積分 184
4.1數(shù)值積分的一般問(wèn)題 184
4.1.1問(wèn)題的提出 184
4.1.2數(shù)值積分的基本思想 185
4.1.3代入精度與插值型求積公式 185
4.2等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式 187
4.2.1Newton-Cotes公式 187
4.2.2Newton-Cotes公式數(shù)值穩(wěn)定性 191
4.2.3Newton-Cotes公式的余項(xiàng) 191
4.2.4復(fù)化的Newton-Cotes公式 195
4.3Romberg積分法 199
4.3.1Richardson外推法 199
4.3.2Bernoulli多項(xiàng)式與Bernoulli數(shù) 201
4.3.3Euler-Maclaurin求和公式 204
4.3.4Romberg積分 208
4.4Gauss求積公式 211
4.4.1Gauss求積公式及其性質(zhì) 211
4.4.2Gauss公式的數(shù)值穩(wěn)定性 214
4.4.3Gauss-Legendre求積公式 215
4.5帶權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式 219
4.5.1代數(shù)精度與數(shù)值穩(wěn)定性 219
4.5.2無(wú)窮區(qū)間上的求積公式 223
4.5.3奇異積分 226
4.6復(fù)化的Gauss型求積公式 232
4.7自適應(yīng)積分方法 235
4.8多重積分 236
習(xí)題4 237
第5章矩陣特征值計(jì)算 241
5.1特征值基本性質(zhì)和估計(jì) 241
5.1.1特征值問(wèn)題及其性質(zhì) 241
5.1.2特征值估計(jì) 245
5.2冪法和反冪法 248
5.2.1冪法 248
5.2.2加速與收縮方法 253
5.2.3反冪法 256
5.3Jacobi方法 259
5.3.1旋轉(zhuǎn)變換 260
5.3.2Jacobi方法 262
5.4Householder方法 265
5.4.1Householder變換 265
5.4.2對(duì)稱(chēng)三對(duì)角矩陣的特征值計(jì)算 269
5.4.3特征向量的計(jì)算 273
5.5LR和QR算法 273
習(xí)題5 277
第6章常微分方程數(shù)值解法 280
6.1初值問(wèn)題數(shù)值方法的一般概念 280
6.2Euler法 282
6.2.1顯式Euler法與隱式Euler法 282
6.2.2Euler法的局部截?cái)嗾`差與精度 285
6.2.3Euler法的穩(wěn)定性 286
6.3Runge-Kutta法 288
6.3.1RK法的一般形式 289
6.3.2二級(jí)RK法 289
6.3.3四級(jí)RK法 292
6.3.4局部截?cái)嗾`差的實(shí)用估計(jì) 293
6.3.5單步法的收斂性、相容性、穩(wěn)定性 295
6.4線(xiàn)性多步法 298
6.4.1線(xiàn)性多步法的一般形式 298
6.4.2線(xiàn)性多步法的逼近準(zhǔn)則 299
6.4.3線(xiàn)性多步法階與系數(shù)的關(guān)系 299
6.4.4線(xiàn)性多步法的構(gòu)造方法 301
6.5線(xiàn)性多步法的收斂性 307
6.6線(xiàn)性多步法的數(shù)值穩(wěn)定性 313
6.6.1差分方程解的性態(tài) 313
6.6.2積累誤差的性態(tài) 314
6.6.3穩(wěn)定性定義 315
6.7預(yù)測(cè)–校正方法 318
6.7.1基本思想 318
6.7.2基本方法 319
6.7.3預(yù)測(cè)–校正法和RK法的比較 323
6.8高階方程和方程組 324
6.9Stiff方程簡(jiǎn)介 326
6.9.1Stiff方程 326
6.9.2A(α)穩(wěn)定,剛性穩(wěn)定 328
6.10邊值問(wèn)題數(shù)值方法 330
6.10.1打靶法 331
6.10.2有限差分法 333
習(xí)題6 336
參考文獻(xiàn) 339