目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 引言 1
1.2 幾個例子 2
1.3 《新課標》的要求 5
思考題 8
第2章 集合論觀點下的中學數(shù)學 9
2.1 樸素集合論與公理集合論 9
2.1.1 樸素集合論 9
2.1.2 公理集合論 13
2.2 笛卡兒積與關(guān)系 18
2.2.1 笛卡兒積 18
2.2.2 關(guān)系 19
2.2.3 等價關(guān)系與序關(guān)系 20
2.3 集合論觀點下的某些中學數(shù)學問題的解釋 22
2.3.1 數(shù)集的擴張 22
2.3.2 函數(shù)概念的演化 24
2.3.3 對復數(shù)集的再認識 26
思考題 28
第3章 數(shù)學分析觀點下的中學數(shù)學 30
3.1 數(shù)學分析發(fā)展簡史 30
3.2 從數(shù)學分析中的實數(shù)公理看中學數(shù)學 33
3.3 數(shù)學分析的辯證觀點對中學數(shù)學解題策略的指導 37
3.3.1 分合并用 38
3.3.2 進退互化 43
3.3.3 動靜轉(zhuǎn)換 48
3.3.4 正反相輔 51
3.4 數(shù)學分析的方法在中學數(shù)學中的應用 55
3.4.1 構(gòu)造輔助函數(shù)的方法 58
3.4.2 母函數(shù)方法 61
3.4.3 琴生不等式的應用 66
3.4.4 連續(xù)函數(shù)介值定理的應用 67
3.5 e和π超越性的證明 72
3.5.1 代數(shù)數(shù)的概念及性質(zhì) 73
3.5.2 e的超越性 73
3.5.3 π的超越性 76
思考題 77
第4章 代數(shù)學觀點下的中學數(shù)學 78
4.1 代數(shù)學發(fā)展簡史 78
4.1.1 古典代數(shù)是以方程的研究為中心的 78
4.1.2 近世代數(shù)是以研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)為中心的 82
4.2 中學數(shù)學某些問題的代數(shù)學解釋 83
4.2.1 方程組的同解變形理論 83
4.2.2 尺規(guī)作圖問題 88
4.3 伽羅瓦理論與代數(shù)方程的公式解 95
4.3.1 單群 95
4.3.2 可解群 99
4.3.3 正規(guī)擴域 100
4.3.4 伽羅瓦群 101
4.4 多項式理論與中學數(shù)學競賽 107
4.4.1 基本知識 107
4.4.2 與多項式有關(guān)的數(shù)學競賽試題解析 109
思考題 117
第5章 幾何學觀點下的中學數(shù)學 118
5.1 幾何學的產(chǎn)生及其發(fā)展概述 118
5.1.1 從歐氏幾何到非歐幾何 118
5.1.2 射影幾何 121
5.1.3 解析幾何 122
5.1.4 微分幾何和拓撲學 123
5.2 高等幾何的基本內(nèi)容和方法 124
5.2.1 仿射幾何的基本內(nèi)容和方法 124
5.2.2 射影幾何的基本內(nèi)容和方法 126
5.3 高等幾何與初等幾何的區(qū)別與聯(lián)系 132
5.3.1 公理法下兩種幾何的區(qū)別與聯(lián)系 132
5.3.2 變換群下兩種幾何學之間的關(guān)系 133
5.4 利用高等幾何的原理和方法解決有關(guān)中學幾何問題 136
5.4.1 仿射變換的應用 136
5.4.2 利用中心投影及交比解決初等幾何問題 140
5.4.3 德薩格定理及完全四點形的調(diào)和性質(zhì)的應用 142
5.4.4 與二次曲線有關(guān)的初等幾何問題 143
思考題 145
第6章 數(shù)理邏輯觀點下的中學簡易邏輯 146
6.1 數(shù)理邏輯的產(chǎn)生及其對數(shù)學的方法論意義 146
6.2 命題邏輯和謂詞邏輯 148
6.2.1 命題邏輯 148
6.2.2 謂詞邏輯 151
6.3 對“簡易邏輯”中一些問題的思考 155
6.3.1 簡單命題與復合命題的區(qū)分 156
6.3.2 復合命題的構(gòu)造 159
6.3.3 反證法的邏輯基礎(chǔ)解讀 163
思考題 167
第7章 組合數(shù)學觀點下的中學數(shù)學 169
7.1 組合數(shù)學簡說 169
7.1.1 組合數(shù)學概覽 169
7.1.2 四色問題——從一道數(shù)學高考試題談起 170
7.1.3 兩個古老的問題 171
7.2 組合數(shù)學中的計數(shù)問題與中學數(shù)學競賽 173
7.2.1 計數(shù)問題的基本內(nèi)容 173
7.2.2 計數(shù)問題的原理和方法的應用舉例 179
7.3 圖論與中學數(shù)學競賽 187
7.3.1 圖的基本概念 187
7.3.2 幾種特殊的圖與中學數(shù)學競賽 190
思考題 196
第8章 概率統(tǒng)計觀點下的中學數(shù)學 197
8.1 引言 197
8.2 概率統(tǒng)計發(fā)展小史 197
8.2.1 概率論的起源與發(fā)展 197
8.2.2 數(shù)理統(tǒng)計的起源與發(fā)展 198
8.3 概率統(tǒng)計思想方法淺析 199
8.3.1 隨機思想與概率大小 200
8.3.2 抽樣與統(tǒng)計 201
8.3.3 統(tǒng)計規(guī)律與因果關(guān)系 201
8.3.4 估計與檢驗的思想 202
8.4 對中學概率統(tǒng)計教學的指導作用 207
8.4.1 確定性思維的轉(zhuǎn)變——概率統(tǒng)計與數(shù)學的區(qū)別和聯(lián)系 208
8.4.2 中學概率統(tǒng)計教學的問題和教學建議 209
思考題 217
思考題參考答案 218
參考文獻 242