目錄
《現代數學基礎叢書》序
序言
緒論 1
第1章 預備知識 7
1.1 邏輯基礎 7
1.1.1 語句真假判定 7
1.1.2 表達式及其語義解釋 12
1.2 集合論基礎 21
1.2.1 屬于與相等 21
1.2.2 基本存在性 25
1.2.3 函數 29
1.2.4 函數半群 32
1.2.5 置換群 34
1.2.6 等價關系 40
1.2.7 勢比較 43
1.2.8 練習 44
1.3 自然數有序集合 45
1.3.1 遞歸定義定理 53
1.3.2 自然數有序半環(huán) 60
1.3.3 自然數數組有序加法半群 73
1.3.4 練習 82
1.4 有限集與無限集 84
1.4.1 有限集合 84
1.4.2 自然數平面之勢 86
1.4.3 連續(xù)統(tǒng)勢 87
1.4.4 練習 88
1.5 有限置換群 89
1.5.1 置換分解與置換符號 90
1.5.2 群同態(tài)與同構 101
1.5.3 置換群分類與包絡定理 105
1.5.4 練習 109
第2章 整數與分數 113
2.1 整數有序環(huán) 113
2.1.1 整數及其算術運算 113
2.1.2 整數算術基本定理 122
2.1.3 循環(huán)群 131
2.1.4 練習 135
2.2 同余類環(huán)和域 136
2.3 整系數多項式環(huán) 142
2.3.1 單變元項及單變元多項式函數 143
2.3.2 函數環(huán) 150
2.3.3 多變元項及多元多項式函數 151
2.3.4 練習 155
2.4 有理數有序域 155
2.4.1 有理數及其算術運算 155
2.4.2 有理數序特征 163
2.4.3 素數開方問題 167
2.4.4 練習 168
2.5 有理平面有序域 170
2.5.1 線性結構 171
2.5.2 正方根乘法 190
2.5.3 練習 197
2.6 有理系數多項式環(huán) 199
2.6.1 有理數值函數環(huán) 200
2.6.2 單變元項與單變元多項式函數 202
2.6.3 n-變元項及其n-元多項式函數解釋 204
2.6.4 分式域 208
2.7 練習 211
第3章 實數與復數 214
3.1 實數 214
3.1.1 實數及其序 214
3.1.2 實數代數運算 216
3.2 實數結構代數特性 225
3.2.1 實系數多項式環(huán) 225
3.2.2 實線性函數 233
3.2.3 實數結構基本代數特性 234
3.2.4 練習 239
3.3 實平面 R2 241
3.3.1 線性運算 242
3.3.2 實線性函數 247
3.3.3 度量 248
3.3.4 可構造數域K 250
3.3.5 練習 258
3.4 方陣空間M2(R) 258
3.4.1 二維實線性映射 258
3.4.2 線性空間M2(R) 260
3.4.3 二階行列式 265
3.4.4 線性單射與滿射 268
3.4.5 四元數體 273
3.4.6 練習 280
3.5 復數 281
3.5.1 復數集合及其代數運算 281
3.5.2 復系數多項式環(huán) 287
3.5.3 復數域代數封閉性 294
3.6 練習 297
第4章 多項式整環(huán) 299
4.1 序列多項式環(huán) 299
4.2 多變元多項式 308
4.2.1 序列多元多項式環(huán) 308
4.2.2 多元對稱函數子環(huán)和對稱多項式子環(huán) 315
4.3 因式分解 320
4.3.1 因式 321
4.3.2 因式分解唯一性 326
4.4 多項式不可約性 334
4.4.1 有理系數不可約多項式 334
4.4.2 根與線性因子 340
4.4.3 實系數和復系數不可約多項式 349
4.4.4 根與系數的關系 354
4.4.5 練習 365
第5章 M3(R)與M34(R) 368
5.1 矩陣空間M3(R) 368
5.1.1 線性運算 369
5.1.2 矩陣乘法 370
5.1.3 三元實線性方程組 374
5.1.4 三階行列式 396
5.2 R3 407
5.2.1 線性運算 407
5.2.2 線性獨立性 409
5.2.3 度量 412
5.2.4 叉積 414
5.2.5 三元實線性函數與實線性算子 418
5.2.6 練習 421
5.2.7 附錄：行列式幾何解釋 423
第6章 矩陣空間Mmn(F) 431
6.1 矩陣與向量 431
6.1.1 線性運算 432
6.1.2 矩陣乘法 434
6.2 線性方程組 437
6.3 線性空間Fn 444
6.4 矩陣與線性映射 455
6.5 行列式函數 486
6.6 練習 522
第7章 線性空間與線性映射 533
7.1 線性空間 533
7.1.1 線性子空間 534
7.1.2 直和分解 541
7.2 線性同構與自同構 549
7.2.1 坐標映射 550
7.2.2 自同構 552
7.2.3 練習 555
7.3 線性映射 561
7.4 線性函數 572
7.4.1 對偶空間L1(Fn，F) 574
7.4.2 對偶空間L1(V，F) 576
7.4.3 練習 588
7.5 線性算子 590
7.5.1 算子代數 590
7.5.2 可逆線性算子 595
7.5.3 相似性 597
7.5.4 標準計算矩陣 601
7.5.5 李代數簡介 655
7.5.6 練習 656
第8章 多重線性函數 664
8.1 雙線性函數 664
8.1.1 對稱雙線性函數與二次型 672
8.1.2 二次型標準化方法 681
8.1.3 實二次型 686
8.1.4 斜對稱雙線性型 697
8.1.5 練習 705
8.2 Rn上的共變張量 713
8.3 抽象張量 719
8.3.1 張量與張量空間 720
8.3.2 張量積 723
8.3.3 張量代數 740
8.3.4 斜對稱張量外積代數 742
8.3.5 練習 760
第9章 內積空間 763
9.1 實歐幾里得空間 763
9.1.1 實對稱正定雙線性型 763
9.1.2 實度量 765
9.1.3 正交性 767
9.1.4 練習 784
9.2 復內積空間 788
9.2.1 埃爾米特型 788
9.2.2 復度量 791
9.2.3 正交性 791
9.3 內積空間算子理論 793
9.3.1 線性算子與共軛線性函數 794
9.3.2 自伴算子 797
9.3.3 保距算子 799
9.3.4 規(guī)范算子 805
9.3.5 練習 815
第10章 幾何向量空間 820
10.1 仿射空間 820
10.2 練習 838
10.3 歐幾里得空間 840
10.4 練習 861
10.5 射影空間 863
10.6 練習 866
10.7 羅巴切夫斯基空間 867
10.8 閔可夫斯基空間 870
參考文獻 876
索引 877
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